重力與阻力 細細說分明
【文╱洪介興】
●考考你╱大水滴比較重 落下速度比較快？
你曾淋過雨嗎？或是仔細觀察過雨滴嗎？你是否有發現大雨落下的速度遠比毛毛雨落下的速度快上許多呢？有沒有想過這是為什麼？
一個很直覺的想法是「因為大水滴比較重，所以落下的速度會比較快。」這樣想是很自然的，事實上，西元前4世紀的古希臘哲學家，同時也是科學家的亞里斯多德（Aristotle）便是這樣主張，此後近兩千年的人們也都是這麼認為的。
直到西元1584年，荷蘭數學家西蒙．斯蒂文（Simon Stevin）在台夫特的教堂塔頂上，扔下兩個重量比率為10倍的鉛球，當它們落地時只發出單一聲響，也就是說2個鉛球同時落地，這個實驗推翻了亞里斯多德的理論。
幾十年後，伽利略（Galileo）在1638年出版的重要著作《關於兩門新科學的論述與數學演示》中提出一段精彩的論證：
假設現在有重量分別是8和4的大、小兩個石頭，若依照亞里斯多德的理論，大石頭的落下速度會比較快。
現在把兩個石頭綁在一起，從一方面看，大石頭落下的速度會被小石頭拖慢；但從另一方面看，綁起來所形成的整體石頭重量是12，那麼落下的速度應該要比原本的大石頭還快！由於這個理論會推導出兩個矛盾的結論，所以這個理論無法成立。
●告訴你╱自由落體 加速度相同 空氣阻力 讓速度變慢
伽利略在1632年的著作中提到了慣性定律，慣性定律是說，當不受作用力影響時，物體會保持靜止，或維持固定速度直線運動。
到了1687年，牛頓（Newton）在伽利略的理論基礎上，進一步說明作用力與運動狀態之間的關聯，至此，人類對於運動力學才算是有正確基本瞭解。接著我們用牛頓的理論說明在西蒙．斯蒂文的實驗中，兩顆鉛球會同時落地的原理。
兩顆鉛球剛放開的瞬間，球還是靜止的，但受到球本身的重力影響，產生往下的「加速度」，於是球開始下墜，而由於這個加速度持續作用，所以下墜的速度會越來越快，你可以隨意拿一個物體試著讓它自由落下，觀察它剛開始落下的瞬間速度很慢，接著落下的速度會越來越快。
根據牛頓的理論，加速度是由作用力和物體質量的比值決定的，而自由落體的作用力就是物體本身的質量所造成的重力，所以作用力和質量的比值是固定的，因此任何自由落體的加速度都是相同的，這就解釋了兩顆不同重量的鉛球之所以同時落地的原因。
但上述的結果顯然和我們的生活經驗不同，像塑膠袋、羽毛球、衛生紙等物品，落下的速度顯然比其他物體慢，難道是牛頓的理論有誤嗎？其實不然，那是因為自由落體不只受到重力，同時還受到空氣阻力的影響；1971年，阿波羅15號的太空人在月球上同時丟下鐵鎚和羽毛，兩者同時落地，這個有趣的實驗強而有力地支持了牛頓的理論。
●看結果╱重力＝空氣阻力時 雨滴落下速度固定
重力的作用會使得自由落體落下的速度變快，而空氣阻力的作用則會使自由落體落下的速度變慢。對於質量較大的物體而言，因為重力較大，所以空氣阻力的影響甚小，但對於質量很小的物體而言，空氣阻力的影響就很大了。
以雨滴為例，雨水剛開始滴落時會加速，但隨著速度越大，空氣阻力也就越大（就像你跑很快時會有逆風的感覺，這其實就是空氣阻力，是空氣在阻擋你前進），當速度高到一個臨界值時，重力和空氣阻力正好一樣大，此後雨滴就會以固定的速度落下，不再增加速度。
忽略空氣阻力不計，若雨水從1000公尺的高空落下，落到地面時的速度會高達秒速140公尺，而從5000公尺高空落下的雨水則會高達秒速320公尺，已逼近音速了！但事實上，受到空氣阻力的影響，隨雨滴大小的不同，雨滴落到地面的速度也各有不同，雨滴最小的毛毛雨（直徑約0.3公釐），速度只有每秒約50公分，但即便是雨滴最大的暴雨（直徑約5公釐），速度也只會達到每秒約8公尺。
你是否有在暴雨中淋雨的經驗呢？那雨水打在身上是會有微小的疼痛感的，若不是空氣阻力幫我們減緩了雨水的力道，被數十倍的力道連續而密集地擊中，大概沒多久就得送醫院了吧！
●別忽略╱小雨滴 阻力影響大 大雨滴 阻力影響小
回到我們最初的問題，「為什麼大雨落下的速度遠比毛毛雨落下的速度快呢？」這是因為小雨滴受阻力的影響程度較大，而大雨滴受阻力的影響程度較小之緣故。
但這又是為什麼呢？如果你心中有浮現起這個疑問，表示你非常具有科學探究的精神，以下便為讀者們進行說明：
首先要知道，物體受到的阻力和受力的有效表面積成正比。接著，為了便於討論，我們先假設雨滴是完美的球體，現在考慮直徑1公釐和5公釐兩種不同大小的雨滴，它們的體積大小比是125倍，所以重量比也是125倍，但它們的表面積比只有25倍；換言之，相較於小雨滴，大雨滴有125倍的重力，但阻力只有25倍。
由以上的分析可知，阻力對大雨滴的影響程度較小，而對小雨滴的影響程度較大，這才是大雨滴落下速度較快，而小雨滴落下速度較慢的原因；絕非像一開始所想的「越重的物體落下的速度越快」如此簡單。
●完美方式╱壓低身體跑步 只有頭部會淋雨
搞清楚雨滴落下速度與重力、阻力間的關連後，最後讓我們來討論一個有趣的問題：
雨天忘記帶傘時，怎樣可以讓上半身淋到比較少的雨，是快走、小跑步、還是快跑？
在往下看之前，你不妨先猜猜看最理想的移動方式為何，並想想看能支持你這個猜想的理由。
你是否有想到跑太快的一個潛在危機，就是胸腹會接到很多雨水；但走太慢又會因為在雨中停留太久，使得頭頂淋到太多雨水，所以可能要用一個合適的速度跑，小跑步或許是最好的答案。
接下來為了便於討論，我們假設雨水落下的速度是每秒2公尺（小雨），並將上半身簡化成一個高60公分、厚20公分的長方柱，現在要穿越4公尺長的無遮蔽區域，右方幾張圖分別呈現用每秒1公尺、2公尺、4公尺前進，會淋到的雨水量。
塗綠色部分是頂部會淋到的雨，每一張圖中的綠色部分都是底為20公分的平行四邊形，但高則因前進速度而異，前進越快，平行四邊形的高越小，表示淋到的雨越少，這和先前的討論相同。
再看到塗藍色部分，這表示前側（胸腹部）會淋到的雨，每一張圖中的藍色部分都是底60公分、高4公尺的平行四邊形，面積都是一樣的，所以先前我們以為跑越快前面會淋得多是錯誤的想法！我們會這麼以為，其實是因為頭頂淋得少了，所以會感覺前側相對淋得多。
綜合以上結論，不論以何種速度前進，前側淋到的雨都固定，而頂部則是前進越快淋到越少，所以在雨中前進還是越快越好！
不過這裡另外補充一個更厲害的方法，就是把身體壓低，採用忍者跑的方式前進！只要讓上半身壓低的斜度，正好等於雨水落下速度和你前進速度的比率，那麼你就只有頂部會淋到雨，礙於篇幅，這裡就不詳加說明，請讀者自行細思囉！
●作者為教育部適性教學計畫「數學建築活動」教案設計人，任教北市石牌國中
【2022-09-26/聯合報/R06.07版/好讀周報動腦力】
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